애로의 불가능성 정리

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정리가 갖는 의미

애로의 정리는 수학적 결과이지만, 이를 종종 단순하게 해석하기도 한다: "공정한 투표란 없다", "순위를 매기는 모든 투표방법은 오류가 있다.", 또는 "오류가 없는 투표는 오직 독재뿐이다." 정리를 단순화 시킨 위와 같은 표현은 원문의 내용과 거리가 있다. 정확히 말해, 불가능성 정리는 어떠한 (선호순위만이 투표에 영향을 미치고, 여러번 투표를 시행해도 동일한 결과를 도출할 수 있는) 확정적 투표 제도도 애로가 제시한 조건을 모두 동시에 만족시킬수 없다는 것을 말한다.

애로가 자신의 조건들을 언급하면서 "공정성"이란 단어를 사용한것은 사실이다. 또 파레토 효율이나 비 강제성 요구는 많은 사람들에게 합리적인 가정으로 여겨진다.

일부 학자^{[출처 필요]}들 은 IIA 가정을 약화시키는 것이 정리의 역설을 우회하는 한 방법이라고 본다. 이들 학자들은 IIA가 너무 강한 조건이라고 주장하며, 그 예로 대부분의 현실적 투표제도가 IIA조건을 만족시키지 못한다고 말한다. 또, IIA조건 위반은 단순히 선호가 순환성(cyclic preference)을 보이는 경우에도 가능하다는 점을 지적한다.

유권자들이 다음과 선호순위를 갖고 있다고 가정해보자:

• 유권자 1은 A > B > C 의 순서로 선호
• 유권자 2은 B > C > A 의 순서로 선호
• 유권자 3은 C > A > B 의 순서로 선호

A와 B를 두고 투표할때, 유권자 1·3은 A에 투표하고 유권자 2만 B에 투표한다. 따라서 다수결을 통해 이 공동체는 A 보다는 B를, B 보다는 C를, 그리고 C 보다는 A를 선택한다: 어떤 두 대안을 비교하더라도, '가위 바위 보'와 같은 선호체계를 갖는다. 이경우, (사회 선호가 전이성 혹은 비순환성을 갖는다고 전제했을때.) 가장 많은 득표를 얻은 후보가 승리하는 다수결의 원칙을 적용한 그 어떤 선호 결합 규칙(사회 후생함수)도 IIA를 만족시키지 못한다.

귀류법을 이용해 이것을 증명하기 위해, (반대로) 선호 결합 규칙이 IIA를 만족한다고 해보자. 다수결 원칙이 존중되기 때문에, 투표를 통해 이 공동체는 A 보다는 B를, B 보다는 C를, 그리고 C 보다는 A를 선호하는 것으로 나타난다. 따라서 선호의 순환성이 나타나고, 사회 선호가 전이성을 만족한다는 가정에 위배된다.

결국, 애로의 정리가 실제로 보이는 것은, 어떤 다수결 원칙의 투표도 사소하지 않은 게임이라는 것과 투표 행위의 결과를 예측하기 위해서는 대부분의 경우 게임 이론을 도입해 분석해야 된다는 것이다. ^[6]

이런 결론은 게임이 꼭 효율적 균형을 갖는 다고 볼수없기 때문에 실망스러울수도 있다: 누구도 최선이라고 인정하지는 않는 후보에게, 모두가 선거에서 (차선으로) 그 후보에 투표할 수 있다.